Ang mga mathematician na sina Dr. Arvin Lamando ng University of the Philippines – Diliman College of Science’s Institute of Mathematics (UPD-CS IM) at Dr. Henry McNulty ng Norwegian University of Science and Technology ay nakatuklas ng bagong paraan upang maunawaan ang mga mathematical “machine” na tinatawag na operator, na susi sa quantum mechanics at signal processing. Ipinapakita ng kanilang pag-aaral na kahit na ang pinaka masalimuot sa mga operator na ito ay maaaring hatiin sa mas simpleng mga bahagi at pagkatapos ay bubuuhin muli, na nagbibigay ng mga bagong insight sa mga quantum system at technology.

“Malaking bahagi ng akung research ay nasa area ng mathematics na “harmonic analysis””, sabi Dr. Lamando. “Puwede ba nating i-decompose ang mga arbitrary na signal f bilang sum of pure frequencies (sines at cosine)? Kaya itong sagutin ng Fourier transform.”

Maaari nating isipin ang signal bilang isang musical chord. Hinahati ng Fourier transform ang tunog sa mga indibidwal nitong pure note. At tulad ng kung paano tayo mag-replay ng chord sa pamamagitan ng pagpindot sa parehong mga note nang sabay sa isang piano, maaari rin nating buuin ang mga “abstract signal” mula sa mga “pure frequency” nila.

“Habang ang harmonic analysis ay matagal nang nakaugat sa real-world applications, lumalabas na ang mga ideya na may kinalaman sa Fourier transform ay napaka-amenable pala sa abstraction; nakakagulat na may mga koneksyon din ito sa iba’t ibang sangay ng abstract mathematics,” paliwanag niya.

Habang ang classical harmonic analysis ay tumatalakay sa mga signal at kanilang mga frequency, ang quantum harmonic analysis naman ay gumagamit ng mga katulad na ideya sa mga operator. Pinag-aaralan ng field na ito ang mga operator na sumusunod sa mga partikular na tuntunin sa matematika na ginagamit kapag isinasalin ang classical physics sa quantum physics.

“Nagpakilala rin kami ng isa pang ideya, ang tinatawag na ‘modulation’ ng isang operator sa phase space. Ang ideyang ito ay pare-pareho sa mga pangunahing tema ng quantum harmonic analysis: sa katunayan, ang operator Fourier transform ng operator modulation ay nagreresulta sa isang isinalin na operator Fourier transform,” pahayag niya. Sa kanilang pag-aaral, natunton ng mga mathematician ang mga operator na nananatiling hindi nagbabago, o invariant, kahit na isinalin o binago sa mga lattice sa phase space.

“Ipinakita namin na nagtataglay ang mga operator na ito ng mga katangiang kahalintulad sa classical case,” ibinahagi ni Dr. Lamando, at idinagdag na siya at si Dr. McNulty ay gumamit ng isang mathematical framework na tinatawag na Heisenberg module upang mas maunawaan at mailarawan ang mga operator na ito.

Nalaman ng mga mathematician na maaaring mas matantya pa ang mga invariant na operator na ito gamit ang mas simpleng mga operator na tinatawag na finite-rank operators, na ang ibig sabihin ay mailalarawan ang kanilang output gamit lamang ang finite number of dimensions. Nagsisilbing tulay ang kanilang mga resulta sa abstract algebraic ideas at concrete structures sa quantum mathematics.

Ang kanilang pananaliksik, “On Modulation and Translation Invariant Operators and the Heisenberg Module,” ay lumabas sa Journal of Fourier Analysis and Applications, na naglalathala ng mga artikulong may mga paksa mula sa abstract harmonic analysis at group representation theory hanggang sa real world applications at partial differential equations.

References:

Lamando, A., & McNulty, H. (2025). On modulation and translation invariant operators and the heisenberg module. Journal of Fourier Analysis and Applications, 31(4). https://doi.org/10.1007/s00041-025-10176-5